Volver a Guía

CURSO RELACIONADO

Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

¿Te está ayudando la guía resuelta?
Sumate a nuestro curso, donde te enseño toda la materia de forma súper simple. 🥰

Ir al curso
ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 8: Teorema de Taylor

Anterior Siguiente
5. Obtenga el polinomio de Taylor de orden nn de las siguientes funciones en x0=0x_{0}=0
f) f(x)=ln⁡(1+x)f(x)=\ln (1+x)

Respuesta

En el Ejercicio 1.d ya habíamos calculado varias derivadas de esta función:

f(0)=0 f(0) = 0 f′(0)= 1 f'(0) =  1 f′′(0)=−1 f''(0) = -1 f′′′(0)=2 f'''(0) = 2

Y en particular yo te habia contado que para cualquier nn natural teníamos esta expresión para la derivada que quisieramos:

fn(x)=(−1)n+1⋅(n−1)!(1+x)nf^n (x) = (-1)^{n+1} \cdot \frac{(n-1)!}{(1+x)^n}

Entonces, por ejemplo, si seguimos un poco más para que lo termines de ver:

f(4)(x)=−3!(1+x)4⇒f(4)(0)=−6f^{(4)} (x) = - \frac{3!}{(1+x)^4} \Rightarrow f^{(4)}(0) = - 6

f(5)(x)=4!(1+x)5 ⇒f(5)(0)=24 f^{(5)} (x) = \frac{4!}{(1+x)^5} \Rightarrow f^{(5)}(0) = 24 

Mirá, empecemos a reemplazar en el polinomio de Taylor para que veas el patrón:

p(x)=x−x22+2x36−6x424+ 24x5120 +⋯ p(x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{2x^3}{6} - \frac{6x^4}{24} + \frac{24x^5}{120} + \cdots

Y si simplificamos:

p(x)=x−x22+x33−x44+x55+ ⋯ p(x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \frac{x^5}{5} + \cdots

Lo ves el patrón? Para terminar de escribirlo de forma general para orden nn escribimos así el último término:

p(x)=x−x22+x33−x44+⋯+(−1)n+1⋅xnn p(x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots + (-1)^{n+1} \cdot \frac{x^n}{n}

Donde el (−1)n+1(-1)^{n+1} se lo agregamos para asegurarnos que los términos con potencia par tengan signo negativo y los impares signo positivo :)
Reportar problema
ExaComunidad
Iniciá sesión o Registrate para dejar tu comentario.